3. Длина волны. Связь длины волны со скоростью её распространения и периодом (частотой)
Скорость волны зависит от строения вещества и взаимодействия между её молекулами (атомами). Поэтому в различных средах скорость одной и той же волны будет отличаться.
Помимо скорости, важной характеристикой волны является длина волны.
Длина волны — расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний в ней.
Рассмотрим процесс передачи колебаний от точки к точке при распространении поперечной волны.
Используется модель, в которой частицы среды заменяют шариками. Для удобства их можно пронумеровать (рис. \(1\)).
Частицы среды связаны между собой межмолекулярными силами взаимодействия, поэтому волна передаётся от одной частицы к другой.
Рис. \(1\). Модель упругой среды для демонстрации колебаний
Отклоним первый шарик от положения равновесия. Силы притяжения передадут движение второму, третьему шарику. Каждый элемент вещества (молекула, атом) повторит движение первой частицы с запаздыванием, которые называют сдвигом фазы. Это запаздывание зависит от расстояния, на котором находится рассматриваемый шарик по отношению к первому шарику.
Предположим, что первый шарик достиг максимального смещения от положения равновесия (рис. \(2\)). В этот момент четвёртый шарик только начнет движение, следовательно, он отстаёт от первого на \(1/4\) колебания.
Рис. \(2\). Изображение максимального смещения от положения равновесия первого шарика
В момент времени, когда смещение четвертого шарика будет наибольшим (рис. \(3\)), седьмой шарик будет отставать от него на \(1/4\) колебания. А если рассмотреть отставание седьмого шарика от первого, то оно составляет \(1/2\) колебания.
Рис. \(3\). Изображение максимального смещения от положения равновесия четвёртого шарика
Между седьмым и четвёртым шариком, а также седьмым и десятым \(1/4\) часть колебания (рис. \(4\)).
Рис. \(4\). Изображение максимального смещения от положения равновесия седьмого шарика
Первый и тринадцатый шарик совершают одно колебание, то есть двигаются в одной фазе (рис. \(5\)). Это значит, что между ними все шарики с первого по двенадцатый проходят полный колебательный процесс или составляют одну волну.
Лямбда-зонд
Лямбда-зонд (он же Датчик кислорода, Кислородный датчик) — определяет содержание кислорода в выхлопных газах и передаёт эту информацию блоку управления двигателем (компьютеру), который, в свою очередь, регулирует состав топливо/воздушной смеси.
[править] Какие функции выполняет кислородный датчик?
График зависимости мощности двигателя (P) и расхода топлива (Q) от коэффициента избытка воздуха (L)
Название датчика происходит от греческой буквы L (лямбда). Лямбдой называют отношение реального количества воздуха к необходимому количеству воздуха (См. AFR). При оптимальном составе этой смеси, когда на 14,7 части воздуха приходится 1 часть топлива, L равна 1. Если лямбда больше единицы – смесь бедная (много кислорода, мало топлива), если меньше единицы – смесь богатая (мало кислорода, много топлива). Слишком большое количество кислорода в выхлопных газах говорит о бедности смеси (малом содержании топлива), что приводит к снижению мощности двигателя и пропускам в зажигании (двигатель “троит”). Слишком малое количество кислорода, свидетельствует о переобогащенной смеси (большом количестве топлива), что приводит к повышенному расходу топлива и повышению токсичности выхлопных газов.
[править] Почему нужно заменять неисправный датчик кислорода?
Воздействие высокой температуры, давления, вибрации и различных химических соединений на кислородный датчик приводят к постепенному выходу его из строя. После его поломки наблюдается повышенный расход топлива, снижение мощности двигателя, повышение токсичности выхлопных газов. Именно поэтому проверка работоспособности и при необходимости замена кислородного датчика является важным элементом технического обслуживании автомобиля.
[править] Где расположен кислородный датчик?
Кислородный датчик определяет количество кислорода в выхлопных газах и располагается в выхлопной трубе. Практически все автомобили с бензиновым двигателем, выпущенные после 1986 года имеют как минимум один кислородный датчик. Большинство современных автомобилей имеют как минимум два кислородных датчика, один из которых расположен, как правило, после катализатора. Сигнал с посткаталитического (нижнего) кислородного датчика позволяет оценивать качество работы катализатора. Точное расположение кислородного датчика на конкретном автомобиле указывается в техническом руководстве к данному автомобилю.
Избыток воздуха в смеси измеряется весьма оригинальным способом – путем определения в выхлопных газах содержания остаточного кислорода (О2). Поэтому лямбда-зонд и стоит в выпускном коллекторе перед катализатором. Электрический сигнал датчика считывается электронным блоком управления системы впрыска топлива (ЭБУ), а тот в свою очередь оптимизирует состав смеси путем изменения количества подаваемого в цилиндры топлива.
1 – впускной коллектор; 2 – двигатель; 3 – блок управления двигателем; 4 – топливная форсунка; 5 – основной лямбда-зонд; 6 – дополнительный лямбда-зонд; 7 – каталитический нейтрализатор.
[править] Почему следует заменить неисправный кислородный датчик?
Если кислородный датчик «сломался» (Читай Как проверить работоспособность кислородного датчика на Subaru). В этом случае ЭБУ начинает работать по усредненным параметрам, записанным в его памяти: при этом состав образующейся топливно-воздушной смеси будет отличаться от идеального. В результате появится повышенный расход топлива, неустойчивая работа двигателя на холостом ходу, увеличение содержания СО в отработавших газах, снижение динамических характеристик, но машина при этом остается на ходу. В некоторых моделях автомобилей ЭБУ реагирует на отказ лямбда-зонда очень серьезно и начинает так рьяно увеличивать количество подаваемого в цилиндры топлива, что запас горючего в баке «тает» на глазах, из трубы валит черный дым, СО «зашкаливает», а двигатель «тупеет» и на ближайшую СТО вам, скорее всего, придется добираться на буксире.
Перечень возможных неисправностей лямбда-зонда достаточно большой и некоторые из них (потеря чувствительности, уменьшение быстродействия) самодиагностикой автомобиля не фиксируются. Поэтому окончательное решение о замене датчика можно принять только после его тщательной проверки, которую лучше всего поручить специалистам. Следует особо отметить, что попытки замены неисправного лямбда-зонда имитатором ни к чему не приведут – ЭБУ не распознает «чужие» сигналы, и не использует их для коррекции состава приготавливаемой горючей смеси, т.е. попросту «игнорирует».
При сгоревшем или отключенном лямбда-зонде содержание СО в выхлопе возрастает на порядок: от 0,1 – 0,3% до 3 – 7% и уменьшить его значение не всегда удается, т. к. запаса хода винта качества смеси может не хватить. В автомобилях, система L-коррекции которых имеет два кислородных датчика, дело обстоит еще сложнее. В случае отказа второго лямбда-зонда (или «пробивки» секции катализатора) добиться нормальной работы двигателя практически невозможно.
Вообще лямбда-зонд – наиболее уязвимый датчик автомобиля с системой впрыска. Его ресурс составляет 40 – 80 тыс. км в зависимости от условий эксплуатации и исправности двигателя. Плохое состояние маслосъемных колец, попадание антифриза в цилиндры и выпускные трубопроводы, обогащенная топливно-воздушная смесь, сбои в системе зажигания сильно сокращают срок его службы. Применение этилированного бензина категорически недопустимо – свинец «отравляет» платиновые электроды лямбда-зонда за несколько бесконтрольных заправок.
Замена неисправного кислородного датчика на новый датчик позволяет экономить топливо, улучшить динамику автомобиля, уменьшить токсичность выхлопных газов, является профилактикой преждевременного выхода из строя дорогостоящего катализатора.
[править] Когда кислородный датчик нужно заменить?
Существуют рекомендованные интервалы замены кислородных датчиков, однако межсменные интервалы являются не единственными критериями замены датчиков кислорода. Если имеются признаки повышенного расхода топлива, ухудшение динамики или экологических характеристик работы двигателя необходимо проверит работоспособность кислородного датчика. Следует учитывать, что кислородный датчик изнашивается постепенно, зачастую незаметно для хозяина автомобиля. Кислородные датчики с одним или двумя проводами при эксплуатации автомобиля в Европе или США требуют замены при пробеге в 50000-80000 км. 3- и 4-проводные датчики требуют замены после 100000 км пробега.
[править] Виды кислородных датчиков
Существует несколько классификаций автомобильных кислородных датчиков:
- По количеству проводов: 1-,2-,3-,4-,5-,6-контактные датчики.
- По дизайну сенсорного элемента: “пальчиковые” и пластинчатые
- По способу крепления в выхлопную трубу: резьбовые и фланцевые.
- По ширине измерений лямбды: узкополосные (детектируют лямбду при величине >1) и широкополосные (детектируют лямбду от 0,7 до 1.6).
[править] Принцип работы кислородного датчика
Принцип работы кислородного датчика – электрохимический. Большинство кислородных датчиков изготавливаются на основе оксида циркония ZnO2 (окислитель) и платины (катализатор химической реакции окислении/восстановления).
При работе двигателя выделяются раскалённые выхлопные газы, имеющие сложный химический состав. Основными составляющими их являются азот N2, углекислый газ CO2, кислород O2 и вода H2O. Однако в выхлопных газах содержаться и недоокисленные продукты горения топлива — CO и CH. Именно с недоокисленными продуктами вступает в реакцию окисления/восстановления оксид циркония кислородного датчика. Непременными условиями протекания этих химических реакций является высокая температура (360 градусов Цельсия) и присутствие катализатора (платина).
При восстановлении двуокиси циркония ZnO2 в окись циркония ZnO возникает электрический ток, который детектируется на контактах кислородного датчика. Так как окись циркония ZnO, является недоокисленным продуктом, она постоянно стремится окислится в двуокись циркония ZnO2, поэтому при работе двигателя на поверхности кислородного датчика происходит постоянное чередования процессов окисления и восстановления, что детектируется как волнообразное изменение напряжения на контактах кислородного датчика. Напряжение генерируемое кислородным датчиком колеблется на уровне от 100 mV (бедная смесь) до 900 mV (богатая смесь). При оптимальном соотношении топливо/воздушной смеси датчик генерирует напряжение порядка 465 mV.
Схема датчика кислорода на основе диоксида циркония, расположенного в выхлопной трубе. 1 – твердый электролит ZrO2; 2, 3 – наружный и внутренний электроды; 4 – контакт заземления; 5 – «сигнальный контакт»; 6 – выхлопная труба.
Кроме циркониевых, существуют кислородные датчики на основе двуокиси титана (TiO2). При изменении содержания кислорода (О2) в отработавших газах они изменяют свое объемное сопротивление. Генерировать ЭДС титановые датчики не могут; они конструктивно сложны и дороже циркониевых, поэтому, несмотря на применение в некоторых автомобилях (Nissan, BMW, Jaguar), широкого распространения не получили.
Для повышения чувствительности лямбда-зондов при пониженных температурах и после запуска холодного двигателя используют принудительный подогрев. Нагревательный элемент (НЭ) расположен внутри керамического тела датчика и подключается к электросети автомобиля
Конструкция датчика кислорода с подогревателем. 1 – керамическое основание; 2, 8 – контакты НЭ; 3 – нагревательный элемент (НЭ); 4 – твердый электролит ZrO2 с напыленными платиновыми электродами; 5 – защитный кожух с прорезями; 6 – металлический корпус с резьбой крепления; 7 – уплотнительное кольцо; 9 – выводы датчика.
Количество проводов, которые имеет кислородный датчик, может колебаться от одного до пяти и даже шести. Этот внешний признак отражает особенности внутреннего устройства кислородного датчика.
- Одноконтактные датчики – имеют один сигнальный провод, по которому передаются генерируемые датчиком электрические импульсы.
- Двухконтактные датчики – имеют один сигнальный провод и один провод “на массу” (дублирует заземление через корпус датчика). Заземляющий провод позволяет более точно оценивать показания сигнального провода блоком управления двигателем.
- Трёхконтактные датчики – имеют один сигнальный провод, один провод “на массу” и один провод на нагревательный элемент. Эти датчики характеризуются следующими достоинствами:
1. Короткое время достижения датчиком рабочей температуры (более 350 градусов) вследствие чего снижается количество вредных выбросов при работе холодного двигателя;
2. увеличивается срок службы датчика, так как у нагреваемых датчиков изменение температуры происходит, более плавно, чем у датчиков без нагревательного элемента;
3. датчики, снабжённые нагревательным элементом, имеют менее строгие требования к месторасположению в выхлопной системе, что упрощает их техобслуживание.
Мощность нагревательного элемента в кислородном датчике составляет либо 12Вт, либо 18Вт. Следует учитывать, что установка датчика с неправильно подобранной мощностью нагревательного элемента может привести к перегреву датчика и быстрому выходу его из строя.
- Четырёхконтактные датчики – обязательно имеют один сигнальный провод, один питающий на нагревательный элемент и один заземляющий провод. Функция последнего провода может быть различной и зависит от особенностей устройства системы управления конкретным двигателем. Четвёртый провод может быть либо ещё одним заземляющим (в случаях, когда заземление через корпус датчика не предусмотрено), либо питающим проводом для второго нагревательного элемента. Следует учитывать, что при ошибочной установки датчика с заземлением на корпус вместо датчика без заземления на корпус или наоборот может привести к тому, что блок управления двигателем не распознает сигналы, поступающие с кислородного датчика.
Контактные выводы наиболее распространенных циркониевых лямбда-зондов. а – без подогревателя; б, с – с подогревателем. (цвет вывода может отличаться от указанного)
[править] См. также
- Фотографии Лямбда-зондов DENSO: http://sites.google.com/site/subaruairfuelratiosensors/foto
- Определение типа кислородного датчика
- Полезные файлы Определение типа кислородного датчика#Каталоги датчиков и инструкции по установке
- Как проверить работоспособность кислородного датчика на Subaru
[править] Источники
- Алексей Сериков [1], http://enc.drom.ru/3216/
- http://stars-auto.com/kislorodnye-datchiki.html
Что означает лямбда в отношении лямбда ст c v
(от латинского vacuum — пустота).
Среда, содержащая газ при давлениях существенно ниже атмосферного . Вакуум характеризуется соотношением между средней длиной свободного пробега молекул газа и размером d, характерным для каждого конкретного процесса или прибора. Таким размером могут быть расстояние между стенками вакуумной камеры , диаметр вакуумного трубопровода, расстояние между электродами электровакуумного прибора и т. и. Величина равна отношению средней скорости молекулы к числу Z столкновений, испытываемых ею за единицу времени: эту величину можно также выразить через диаметр молекулы dm и число молекул n в единице объема:
| (1) |
(для электронов в 5-6 раз больше). В зависимости от величины отношения различают низкий (), средний (), высокий () вакуум. В низком вакууме преобладают столкновения молекул друг с другом, в высоком вакууме преобладают столкновения молекул со стенками камеры. В обычных вакуумных установках и приборах (d=10 см) низкому вакууму соответствуют давления р>10 2 Па (1 мм рт. ст.), среднему вакууму — от 10 3 до 10 -1 Па l-10 -3 мм рт. ст.), высокому вакууму — р -1 Па (10 -3 мм рт. ст.; табл. 1). В порах или каналах диаметром мкм высокому вакууму соответствует давление начиная с десятков и сотен мм рт. ст., а в камерах для имитации космического пространства (объемом в десятки м 3 ) граница между средним и высоким вакуумом порядка 10 -5 мм рт. ст.
Табл. 1. Характеристики различных степеней вакуума ( см)
| Диапазон давлений, Па (мм рт. ст.) | Вакуум | |||
| низкий | средний | высокий | сверхвысокий | |
| 10 5 -133 (750-1) | 133-1,33*10 -1 (1-10 -3 ) | 1,33*10 -1 -1,33*10 -3 (10 -3 -10 -7 ) | ||
| Число молекул в 1 м 3 | 10 23 -10 22 | 10 22 -10 19 | 10 19 -10 16 | |
| Режим течения газа | вязкостный | переходный к молекулярному | молекулярный | молекулярный |
Понятие сверхвысокого вакуума связывается не с величиной отношения , а со временем , необходимым для образования мономолекулярного слоя газа на поверхности твердого тела в вакууме, которое оценивается по формуле:
| (2) |
где — коэффициент захвата частицы поверхностью. Сверхвысоким вакуумом называют область давлений мм рт. ст., когда нескольких минут. Основные составляющие воздуха , за исключением H 2O, CO 2 и Xe , при комнатной температуре — газы, они находятся при температуре Т выше критической Ткр и не могут быть переведены в конденсированное состояние повышением давления. При К все атмосферные газы, кроме H, He , Ne , переходят в жидкое состояние (таблица 2).
Таблица 2. Некоторые параметры атмосферных газов при p=10 5 Па (750 мм рт. ст.) и T=273 К
| Газ | Tкр, К | , (м)*10 8 | , (м/с)*10 -2 | Число молекул, ударяющихся о поверхность N, (м -2 с -1 *10 -27 ) | Объем в сухом атмоферном воздухе, % |
| H | 33,2 | 11,04 | 16,93 | 11,23 | 5*10 -5 |
| He | 5,23 | 17,53 | 12,01 | 7,969 | 5,2*10 -4 |
| Ne | 12,42 | 12,42 | 5,355 | 3,550 | 1,8*10 -3 |
| N2 | 126 | 5,99 | 4,542 | 3,011 | 78,08 |
| O2 | 155 | 6,33 | 4,252 | 2,819 | 20,95 |
| A | 151 | 6,20 | 3,805 | 2,523 | 0,93 |
| CO2 | 304 | 3,88 | 3,624 | 2,403 | 0,033 |
| K | 209 | 4,85 | 2,629 | 1,743 | 1,1*10 -4 |
| Xe | 290 | 3,47 | 2,099 | 1,392 | 8,7*10 -6 |
Свойства газа в низком вакууме определяются частыми столкновениями между молекулами газа, сопровождающимися обменом энергией . Поэтому течение газа в низком вакууме носит вязкостный характер, а явления переноса ( теплопроводность , внутреннее трение , диффузия ) характеризуются плавным изменением (или постоянством) градиента переносимой величины. Например, температура газа в пространстве между горячей и холодной стенками в низком вакууме изменяется постепенно, и температура газа у стенки близка к температуре стенки. Условие равновесия для газа, находящегося в двух сообщающихся сосудах при различных температурах, — равенство давлении в этих сосудах. При прохождении электрического тока в низком вакууме определяющую роль играет ионизация молекул в объеме между электродами.
В высоком вакууме поведение газа определяется столкновениями его молекул со стенками или другими твердыми телами. Движение молекул между соударениями с твердыми поверхностями происходит по прямолинейным траекториям (молекулярный режим течения). Явления переноса характеризуются возникновением скачка переносимой величины на границах: например, во всем пространстве между горячей и холодной стенками примерно 1/2 молекул имеет скорость, соответствующую температуре холодной стенки, а остальные — скорость, соответствующую температуре горячей стенки, то есть средняя температура газа во всем пространство одинакова и отлична от температуры как горячей, так и холодной стенок. Количество переносимой величины ( теплота ) прямо пропорционально p. Условие равновесия газа, находящегося в сообщающихся сосудах при различных температурах: n1T1=n2T2, где n1 и n2 — концентрации газа в сосудах. Прохождение тока в высоком вакууме возможно в результате электронной эмиссии с электродов . Ионизация молекул газа имеет существенное значение только в тех случаях, когда длина свободного пробега электронов становится значительно больше расстояния между электродами. Такое увеличение может быть достигнуто при движении заряженных частиц но сложным траекториям, например в магнитном поле .
Достигаемая степень разрежения определяется равновесием между скоростью откачки и скоростью выделения газа в откачиваемом объеме. Последнее может происходить за счет проникновения газа извне через течи, сквозь толщу материала стенок путем диффузии , а также в результате выделения газа, адсорбированного на стенках аппаратуры или растворенного в них.
Формулы деления отрезка в данном отношении.
Формулы координат середины отрезка
Прошло совсем немного времени, с того момента, когда пилотным выпуском появилась моя первая статья по аналитической геометрии – Векторы для чайников. Затем последовал важный урок Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. После кропотливого труда я вдруг заметил, что размеры веб страниц достаточно велики, и если так пойдёт дальше, то можно тихо мирно озвереть =) Поэтому предлагаю вашему вниманию небольшое эссе, посвященное очень распространённой геометрической задаче – о делении отрезка в данном отношении, и, как частный случай, о делении отрезка пополам.
Данная задача по тем или иным причинам не вписалась в другие уроки, но зато сейчас есть прекрасная возможность рассмотреть её подробно и неторопливо. Приятная новость состоит в том, что мы немного отдохнём от векторов и сконцентрируем внимание на точках и отрезках.
Формулы деления отрезка в данном отношении
Понятие деления отрезка в данном отношении
Нередко обещанного вовсе ждать не приходится, сразу рассмотрим пару точек и, очевидное невероятное – отрезок :
Рассматриваемая задача справедлива, как для отрезков плоскости, так и для отрезков пространства. То есть, демонстрационный отрезок можно как угодно разместить на плоскости или в пространстве. Для удобства объяснений я нарисовал его горизонтально.
Что будем делать с данным отрезком? На этот раз пилить. Кто-то пилит бюджет, кто-то пилит супруга, кто-то пилит дрова, а мы начнём пилить отрезок на две части. Отрезок делится на две части с помощью некоторой точки , которая, понятно, расположена прямо на нём:
В данном примере точка делит отрезок ТАКИМ образом, что отрезок в два раза короче отрезка . ЕЩЁ можно сказать, что точка делит отрезок в отношении («один к двум»), считая от вершины .
На сухом математическом языке этот факт записывают следующим образом: , или чаще в виде привычной пропорции: . Отношение отрезков принято стандартно обозначать греческой буквой «лямбда», в данном случае: .
Пропорцию несложно составить и в другом порядке: – сия запись означает, что отрезок в два раза длиннее отрезка , но какого-то принципиального значения для решения задач это не имеет. Можно так, а можно так.
Разумеется, отрезок легко разделить в каком-нибудь другом отношении, и в качестве закрепления понятия второй пример:
Здесь справедливо соотношение: . Если составить пропорцию наоборот, тогда получаем: .
После того, как мы разобрались, что значит разделить отрезок в данном отношении, перейдём к рассмотрению практических задач.
Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости
Если известны две точки плоскости , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:
Откуда взялись данные формулы? В курсе аналитической геометрии эти формулы строго выводятся с помощью векторов (куда ж без них? =)). Кроме того, они справедливы не только для декартовой системы координат, но и для произвольной аффинной системы координат (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов). Такая вот универсальная задача.
Найти координаты точки , делящей отрезок в отношении , если известны точки
Решение: В данной задаче . По формулам деления отрезка в данном отношении, найдём точку :
Ответ:
Обратите внимание на технику вычислений: сначала нужно отдельно вычислить числитель и отдельно знаменатель. В результате часто (но далеко не всегда) получается трёх- или четырёхэтажная дробь. После этого избавляемся от многоэтажности дроби и проводим окончательные упрощения.
В задаче не требуется строить чертежа, но его всегда полезно выполнить на черновике:
Действительно, соотношение выполняется, то есть отрезок в три раза короче отрезка . Если пропорция не очевидна, то отрезки всегда можно тупо измерить обычной линейкой.
Равноценен второй способ решения: в нём отсчёт начинается с точки и справедливым является отношение: (человеческими словами, отрезок в три раза длиннее отрезка ). По формулам деления отрезка в данном отношении:
Ответ:
Заметьте, что в формулах необходимо переместить координаты точки на первое место, поскольку маленький триллер начинался именно с неё.
Также видно, что второй способ рациональнее ввиду более простых вычислений. Но всё-таки данную задачу чаще решают в «традиционном» порядке. Например, если по условию дан отрезок , то предполагается, что вы составите пропорцию , если дан отрезок , то «негласно» подразумевается пропорция .
А 2-ой способ я привёл по той причине, что частенько условие задачи пытаются намеренно подзапутать. Именно поэтому очень важно выполнять черновой чертёж чтобы, во-первых, правильно проанализировать условие, а, во-вторых, в целях проверки. Обидно допускать ошибки в такой простой задаче.
Даны точки . Найти:
а) точку , делящую отрезок в отношении ;
б) точку , делящую отрезок в отношении .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда встречаются задачи, где неизвестен один из концов отрезка:
Точка принадлежит отрезку . Известно, что отрезок в два раза длиннее отрезка . Найти точку , если .
Решение: Из условия следует, что точка делит отрезок в отношении , считая от вершины , то есть, справедлива пропорция: . По формулам деления отрезка в данном отношении:
Сейчас нам неизвестны координаты точки : , но это не является особой проблемой, так как их легко выразить из вышеприведённых формул. В общем виде выражать ничего не стОит, гораздо проще подставить конкретные числа и аккуратно разобраться с вычислениями:
Ответ:
Для проверки можно взять концы отрезка и, пользуясь формулами в прямом порядке, убедиться, что при соотношении действительно получится точка . И, конечно же, конечно же, не лишним будет чертёж. А чтобы окончательно убедить вас в пользе клетчатой тетради, простого карандаша да линейки, предлагаю хитрую задачу для самостоятельного решения:
Точка . Отрезок в полтора раза короче отрезка . Найти точку , если известны координат точек .
Решение в конце урока. Оно, кстати, не единственное, если пойдёте отличным от образца путём, то это не будет ошибкой, главное, чтобы совпали ответы.
Формулы деления отрезка в данном отношении в пространстве
Для пространственных отрезков всё будет точно так же, только добавится ещё одна координата.
Если известны две точки пространства , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:
.
Даны точки . Найти координаты точки , принадлежащей отрезку , если известно, что .
Решение: Из условия следует отношение: . Данный пример взят из реальной контрольной работы, и его автор позволил себе небольшую шалость (вдруг кто споткнётся) – пропорцию в условии рациональнее было записать так: .
По формулам координат середины отрезка:
Ответ:
Трёхмерные чертежи в целях проверки выполнять значительно сложнее. Однако всегда можно сделать схематический рисунок, чтобы разобраться хотя бы в условии – какие отрезки необходимо соотносить.
Что касается дробей в ответе, не удивляйтесь, обычное дело. Много раз говорил, но повторюсь: в высшей математике принято орудовать обыкновенными правильными и неправильными дробями. Ответ в виде пойдёт, но вариант с неправильными дробями более стандартен.
Разминочная задача для самостоятельного решения:
Даны точки . Найти координаты точки , если известно, что она делит отрезок в отношении .
Решение и ответ в конце урока. Если трудно сориентироваться в пропорциях, выполните схематический чертёж.
В самостоятельных и контрольных работах рассмотренные примеры встречаются как сами по себе, так и составной частью более крупных задач. В этом смысле типична задача нахождения центра тяжести треугольника.
Разновидность задания, где неизвестен один из концов отрезка, разбирать не вижу особого смысла, так как всё будет похоже на плоский случай, разве что вычислений чуть больше. Лучше вспомним годы школьные:
Формулы координат середины отрезка
Даже неподготовленные читатели могут помнить, как разделить отрезок пополам. Задача деления отрезка на две равные части – это частный случай деления отрезка в данном отношении. Двуручная пила работает самым демократичным образом, и каждому соседу за партой достаётся по одинаковой палке:
В этот торжественный час стучат барабаны, приветствуя знаменательную пропорцию . И общие формулы чудесным образом преображаются в нечто знакомое и простое:
Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно переставить:
В общих формулах такой роскошный номер, как понимаете, не проходит. Да и здесь в нём нет особой надобности, так, приятная мелочь.
Для пространственного случая справедлива очевидная аналогия. Если даны концы отрезка , то координаты его середины выражаются формулами:
Параллелограмм задан координатами своих вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.
Решение: Желающие могут выполнить чертёж. Граффити особенно рекомендую тем, кто капитально забыл школьный курс геометрии.
По известному свойству, диагонали параллелограмма своей точкой пересечения делятся пополам, поэтому задачу можно решить двумя способами.
Способ первый: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :
Способ второй: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :
Ответ:
Пространственный отрезок для самостоятельного решения:
Даны точки . Найти середину отрезка .
Вычисления не самые простые получились, числа с ходу придумал. Решение в конце урока.
Как видите, задача деления отрезка пополам настолько прозрачна, что доступна и пятикласснику. На практике середину отрезка чаще всего находят, чтобы составить уравнение медианы треугольника. Но это уже тема другой статьи
Не вижу смысла открывать трёхлитровую банку примеров, поэтому заключительный аккорд урока – случай, когда известна середина отрезка и один из его концов:
Точка делит отрезок пополам. Найти точку , если известны точки
Решение: Используем формулы координат середины отрезка:
Нам неизвестны координаты . И снова можно вывести общую формулу для их нахождения, но гораздо легче сразу подставить числа. Только пропорциями верти:
Ответ:
Проверка выполняется даже устно: берём концы отрезка и находим его середину.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
а) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении:
Ответ:
б) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении:
Ответ:
Пример 4: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении:
Из условия следует, что .
Примечание: формулировка условия «отрезок в полтора раза короче отрезка » эквивалентна формулировке «отрезок в полтора раза длиннее отрезка », именно из этих соображений и составлена пропорция.
По условию , таким образом:
Ответ:
Пример 6: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении:
В данной задаче .
Таким образом:
Ответ:
Пример 8: Решение: Используем формулы координат середины отрезка:
Ответ:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено